Kelly + ruin probability：回撤阈值与杠杆上限的数学推导

R4 + R5 硬性要求——回撤与杠杆必须从 ruin 推，不是拍数字

交易实操·支柱③「决策引擎」第 3 讲 / 共 34 讲

**预计时间：**22 分钟读 + 8 分钟做习题。

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前言

0007 EV + Bayesian 更新 给 EV 公式和机会排序。本课给 Kelly + ruin probability 数学推导——这是 R4（风险阈值）和 R5（杠杆上限）的硬性要求。

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1. Kelly 公式（二元胜负 + 连续形式）

1.1 二元胜负

$$f^* = \frac{b \cdot p - q}{b}$$

1.2 连续形式

$$f^* = \frac{\mu - r_f}{\sigma^2}$$

1.3 几何增长

$$g = p \cdot \ln(1 + f \cdot b) + q \cdot \ln(1 - f)$$

g 是每笔期望对数增长率。最大化 g 的仓位就是 Kelly。

worked example：f=0.17、b=1.5、p=0.6 → g = 0.6 × ln(1 + 0.17 × 1.5) + 0.4 × ln(1 − 0.17) ≈ +6.1%/笔。

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2. ruin probability 推导（数学）

2.1 简化形式（独立同分布二元赌博）

$$P(\text{ruin}) \approx \exp(-2 \cdot p \cdot q \cdot f \cdot T \cdot b)$$

其中 T 是交易次数（不是日历时间）。

2.2 worked example

p=0.55、q=0.45、f=0.2、b=1.2、T=100 → P(ruin) ≈ exp(−2 × 0.55 × 0.45 × 0.2 × 100 × 1.2) = exp(−11.88) ≈ 6.9 × 10^{-6}。

2.3 half-Kelly vs full Kelly

half-Kelly ruin_prob ≈ 全 Kelly 的 1/100（指数项减半 → e^−x → e^−(x/2) → 平方关系）。这是为什么 half-Kelly 是行业共识稳健值。

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3. R4 硬性要求：回撤阈值从 ruin 数学推导（不是拍数字）

3.1 错误（ad-hoc）：拍数字「回撤 20% 降半仓」「回撤 30% 空仓 30 天」

R1 三问检查：

• ① 影响变量：无数学定义
• ② 推导依据：无
• ③ trade-off：无量化

禁止使用。

3.2 正确（数学推导）：从期望最大回撤 + ruin_prob 阈值推导

Step 1 — 期望最大回撤的数学估计：

半 Kelly + 5 年 + p=0.6 + b=1.5 下，期望最大回撤 ≈ f*(safe) × σ × √T × z（其中 z 是 95% CI 因子 ≈ 1.65）。

简化推导：

• 单笔风险 = f × ATR ≈ f × σ × √(1/252)
• 5 年累计波动 ≈ σ × √(5 × 252) × z
• 在 worst case 下，账户会经历 σ × √T × z 倍标准差的回撤

worked example（500 万、f=0.15、σ=20%、T=5 年）：

• 单笔 σ 贡献 = 0.15 × 0.20 × √(1/252) ≈ 0.0019（占账户 0.19%）
• 5 年累计 = 0.20 × √(5 × 252) ≈ 7.1
• 期望最大回撤 ≈ 0.15 × 7.1 ≈ 1.07（账户 107%）

注意 107% 远超 100%，意味着 5 年后破产概率显著。half-Kelly + 5 年需要降低 f 或缩短 T。

Step 2 — 阈值数学公式：

设账户回撤阈值 = D*，则触发动作：D* > D*_expectation → 模型假设破坏（H3 或 H4）→ 降到 1/3-Kelly + 重检 p。

禁止「回撤 > 20% 一律降半仓」——必须按 ruin 数学推导。

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4. R5 硬性要求：杠杆上限从 ruin 约束推导（不是拍数字）

4.1 错误（ad-hoc）：拍数字「f* > 0.3 加 1.5 倍」「f* > 0.5 加 2 倍」

R1 三问检查：

• ① 影响变量：杠杆 L 没有任何数学推导
• ② 推导依据：无
• ③ trade-off：无量化

禁止使用。

4.2 正确（数学推导）：max_L such that P(ruin) < 1%

Step 1 — 杠杆暴露 = f(safe) × 名义杠杆 L*

Step 2 — ruin_prob 公式代入：

$$P(\text{ruin}) \approx \exp(-2 \cdot p \cdot q \cdot f \cdot L \cdot T \cdot b) < 0.01$$

取对数：

$$-2 \cdot p \cdot q \cdot f \cdot L \cdot T \cdot b < \ln(0.01) = -4.605$$

解出 max_L：

$$L_{\max} = \frac{4.605}{2 \cdot p \cdot q \cdot f \cdot T \cdot b}$$

worked example（p=0.6、q=0.4、f=0.15、b=1.5、T=100 次交易）：

$$L_{\max} = \frac{4.605}{2 \times 0.6 \times 0.4 \times 0.15 \times 100 \times 1.5} = \frac{4.605}{10.8} \approx 0.426$$

意味着不加杠杆（L=1.0 就已经接近 1% ruin_prob 上限）。如果想加杠杆，需要：

• 缩短 T（更短时间窗口）
• 提高 b（更紧的止损 → 更大盈亏比）
• 提高 p（更可信的信号）

4.3 杠杆使用条件（条件式）

IF	THEN
f*(safe) ≤ 0	不加杠杆
0 < f*(safe) ≤ 0.15	不加杠杆（半 Kelly 已含安全边际）
0.15 < f*(safe) ≤ 0.25	可考虑加 1.0 – 1.5 倍（数学验证 L × f < 1.0% ruin）
f*(safe) > 0.25	不可持续（Kelly 假设 H1/H2/H3 被破坏）

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5. 4 个实战修正

5.1 H1 对数效用修正（safety_factor）

个人效用	safety_factor	推导
比 log 更厌恶（多数散户）	0.3（1/3-Kelly）	ruin_prob 比 half-Kelly 低 2 个数量级
与 log 一致	0.5（half-Kelly）	行业共识稳健值
比 log 更激进（罕见）	0.7	自我确认必要性高

5.2 H2 有限时间修正

时间窗口	safety_factor	推导
< 1 年	0.2	样本少 + ruin 方差大
1 – 3 年	0.3	置信区间仍宽
3 – 10 年	0.5	Kelly 渐近收敛
10 年以上	0.5 – 0.7	接近理论值

5.3 H3 概率不准修正

1. 每笔 Bayesian 更新（per 0007）
2. 敏感性分析：p ± 10%，若 f* 变化 > 50% → 此机会不入场
3. 用悲观 p（先验 − 1σ）算 f*

5.4 H4 成本修正

f*(safe) = f × (1 − round_trip_fee − slippage − tax)

策略期望收益 < 4% → Kelly 退化 → 不入场。

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6. p ≤ 0.5 且 b ≈ 1 时 f* ≤ 0

数学结果：

$$f^* = \frac{1.0 \times 0.5 - 0.5}{1.0} = 0$$

→ 不加杠杆（EV 也接近 0）。

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实操产出物

完成本课后，你应该产出：

1. Kelly + ruin 计算表：输入 p/b/T/cost/safety_factor → 输出 f*(safe)、ruin_prob
2. 回撤阈值表：不同时间窗口 + 不同 f*(safe) 下的期望最大回撤（数学计算）
3. 杠杆上限表：不同 f*(safe) + ruin_prob 约束下的 max_L
4. 个人 safety_factor 矩阵：行=时间窗口，列=效用函数偏好，填入具体数值

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练习题

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交叉引用

• 0006 综合框架内核——f*(safe) 公式 + H1-H6
• 0007 EV + Bayesian 更新——p 估计 + EV/风险排序
• 0016 风险全景——5 类风险 + 压力测试
• 0017 杠杆工具手册——4 类杠杆对照
• 0026 杠杆时机纪律——杠杆时机数学

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本课用户原话出处

“Kelly 不是公式，是风险约束工具。”

“回撤阈值必须从 ruin 数学推导，不是拍 20%/30%。”

“杠杆上限必须从 ruin 推导，不是拍 1.5/2 倍。“

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合规声明

本课仅作为教育用途，不构成投资建议。Kelly 与 ruin probability 的数学推导见 Thorp (1997)、MacLean–Ziemba 系列论文。数字为框架示例，非收益承诺。投资有风险，决策请独立判断。