EV 期望值 + Bayesian 更新

p·b−q 的反例 + 先验/证据/后验 + 机会横向比较

交易实操·支柱③「决策引擎」第 2 讲 / 共 34 讲

**预计时间：**15 分钟读 + 5 分钟做习题 = 20 分钟。

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前言

0006 综合框架内核 给出了 Kelly 公式 f* = (b·p − q) / b，但只展示了 worked example 的”输入 → 输出”。本课拆解输入本身：p（胜率）、b（盈亏比）、q = 1 − p、成本、风险敞口——这些变量怎么估计？估计错了怎么办？多个机会同时出现时，资金应如何分配？

EV 是这一切的起点。EV 把”p 与 b”压缩成一个标量——正负代表是否值得入场，幅度代表量级。Bayesian 更新则回答”p 不是固定的，新证据到来时如何更新”。两个工具合起来，构成了每笔交易入场前的标准动作：算 EV → 用 Bayesian 把 p 调到最新 → 算 f(safe) → 排序入队*。

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1. EV 定义：p·b − q

1.1 数学定义

$$\text{EV} = p \cdot b - q = p \cdot b - (1 - p)$$

其中 p 是胜率，q = 1 − p 是败率，b 是盈亏比（盈利金额 / 亏损金额）。推导依据是期望值定义——二项分布下，每次博弈的期望净收益是 p × (+b) + q × (−1)，归一化到”每押 1 单位”后得到 p·b − q。完整期望值推导见 数学·0007 盈亏不对称 与 数学·0015 决策树。

几何解释：EV 是 (p, b) 在 b·p = q 这条直线（EV = 0 的临界线）的一侧投影。直线把平面分成正期望区域（上方）和负期望区域（下方）。任何落在负期望区域的点，无论 b 多高或 p 多大，下注长期必输。

1.2 Worked example：p = 0.55, b = 1.1

直觉上”过半胜率 + 1.1 倍赔率”听起来像”小赢”。但代入 EV：

$$\text{EV} = 0.55 \times 1.1 - 0.45 = 0.605 - 0.45 = +0.155$$

等等——这其实是 +0.155，正期望。但用户原话的”反例”是 p = 0.45, b = 1.1：

$$\text{EV} = 0.45 \times 1.1 - 0.55 = 0.495 - 0.55 = -0.055$$

EV = −0.055，负期望。直觉上”赔率高于 1，应该不亏”，但数学上只要 p 不到 50%，即使 b 略 > 1 仍然负期望。反例的意义：用 EV 检验每个”看起来不错”的机会，凡是 EV ≤ 0 的直接放弃——无论胜率看起来多高、赔率看起来多诱。

R1 三问自检：

• ① 影响变量：p、b（核心输入）
• ② 推导依据：数学（期望值定义）
• ③ trade-off：放弃 EV ≤ 0 → 短期”少赚”感，长期避免负期望吞噬本金

1.3 反例的认知价值

多数散户的 ad-hoc 规则（如”分位数低就买”）直接跳过 EV。EV 检验的功能是过滤器——把”听起来有机会”压缩成”数学上是否值得下注”。过滤掉 EV ≤ 0 的伪机会后，剩下的候选池才是讨论 p/b 精度的对象。

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2. Bayesian 更新：p 是估计，不是固定值

2.1 先验 / 证据 / 后验的三段式

0006 第 1.2 节 给出了 Bayes 公式：

$$p_{\text{new}} = \frac{P(\text{evidence}|\text{win}) \cdot P(\text{win})}{P(\text{evidence})}$$

本课展开其操作含义：p 不是一次性估计，而是一个不断被证据更新的信念。流程：

1. 先验（prior） P(win)：入场前的胜率估计，基于历史回测、估值、宏观等静态信息
2. 证据（evidence）：新出现的信息——财报发布、宏观数据、对手盘异动、行业新闻
3. 似然（likelihood） P(evidence|win) 和 P(evidence|lose)：这个证据在”真机会”和”假机会”下分别出现的概率
4. 后验（posterior） p_new：拿到证据后更新的胜率

2.2 Worked example：财报超预期

你入场时 p = 0.6（基于估值与趋势的先验）。财报发布后出现证据 A（利润超预期 30%）：

• P(A|win) = 0.7（真机会中 70% 会超预期）
• P(A|lose) = 0.3（假机会中 30% 也会超预期——噪音）
• 全概率：P(A) = 0.7 × 0.6 + 0.3 × 0.4 = 0.42 + 0.12 = 0.54

$$p_{\text{new}} = \frac{0.7 \times 0.6}{0.54} \approx 0.778$$

p 从 0.6 跃升到 0.778。如果 b 估计不变（仍 1.5），f* 从 0.333 → 0.511——仓位应加。反之若证据 B 是”同行发布预警”，P(B|win) = 0.4、P(B|lose) = 0.6，则 p → 0.4，f* 变负——应离场。

完整推导：见 数学·0008 贝叶斯定理 与 统计·0001 频率派 vs 贝叶斯。

2.3 入场信号 = Bayesian 更新 p 的输入

关键：任何入场信号都是 p 的输入，不是规则本身。常见的入场信号都是这样进入框架：

信号类型	作为 p 的更新证据	例子
估值信号	p（基本面胜率）	PE 分位 < 20% → 基本面胜率上修
趋势信号	p（趋势持续概率）	站上 60 日均线 → 趋势胜率上修
均值回归	p（回归概率）	RSI < 30 → 均值回归胜率上修
资金流	p（信息优势）	北向连续 5 日净买入 → 先验更新
财报信号	p（基本面胜率）	超预期 → 见 worked example
事件信号	p 与 b 同时	并购、解禁视事件类型拆解

禁止：「信号 X 出现 → 直接买」是 ad-hoc 路径，绕过 Bayesian 更新。正确流程：信号出现 → 算 P(信号|真机会) 与 P(信号|假机会) → 代入 Bayes → 更新 p → 重算 f*(safe)。

R1 三问自检：

• ① 影响变量：p（胜率估计）
• ② 推导依据：数学（条件概率定义）
• ③ trade-off：先验越强（先验方差小）→ 后验越难被撼动（保守）；先验越弱 → 噪声易被误当信号（激进）

2.4 收敛与稳健性

Bayesian 更新是递归的：每次更新后的后验就是下一次的先验。如果信号是真实信号，多轮更新后 p 会收敛到接近真实胜率；如果信号是噪声，多轮更新后 p 会回归到先验附近（先验相当于正则化项）。这一收敛性质避免了”被单一信号带偏”。

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3. 机会横向比较：EV/风险排序

3.1 多机会并存时的决策问题

实际投资不会”一次只看一个机会”。同一时间可能有多个标的符合入场条件。R1 三问直接给出答案：

• ① 影响变量：f（资金分配）+ p、b（每个机会的 Kelly 输入）
• ② 推导依据：数学（期望值排序 + Kelly f*）
• ③ trade-off：放弃 EV 较低的机会 → 短期”少赚”感，长期资金配置最优

决策规则（R1 三问版）：

1. EV ≤ 0 → 不做（无论机会看起来多好）
2. EV > 0 → 进排队
3. 按 EV/风险 比排序（不是按 EV 绝对值）

3.2 为什么是 EV/风险 而不是 EV 绝对值

EV 高的机会可能风险敞口也大——总期望相同但单笔波动可能击穿心理承受线。EV/风险 把每单位风险对应的期望值标准化，便于跨机会比较。

风险定义（单笔）：单笔亏损金额 = 仓位 × 单笔止损幅度。在仓位相等时（f 相同），单笔风险 = 资金 × f × 单笔止损率。

3.3 Worked example：A vs B

机会	p	b	EV	单笔止损率	单笔风险（500 万资金）	EV/风险
A	0.55	1.8	0.55×1.8 − 0.45 = +0.54	0.5%	500 万 × 0.5% = 2.5 万	0.54 / 2.5 = 0.216
B	0.65	1.3	0.65×1.3 − 0.35 = +0.495	0.3%	500 万 × 0.3% = 1.5 万	0.495 / 1.5 = 0.330

直觉陷阱：A 的 EV 绝对值更高（+0.54 vs +0.495），看起来”更赚”。但 B 的 EV/风险比更高（0.330 vs 0.216）。在相同资金约束下，应优先把资金分配给 B——单笔风险更低、比值更高，长期复合增长率更大。

Kelly 推导验证（代入每条机会单独算 f*）：

• 机会 A：f* = (1.8×0.55 − 0.45) / 1.8 = (0.99 − 0.45) / 1.8 = 0.30
• 机会 B：f* = (1.3×0.65 − 0.35) / 1.3 = (0.845 − 0.35) / 1.3 ≈ 0.381

B 的 Kelly 仓位天然更大（p 更高、b 略低但 EV/风险比更优）。如果两个机会都用 half-Kelly（safety_factor = 0.5）：

• A 的 f*(safe) = 0.30 × 0.5 = 0.15 → 仓位 75 万
• B 的 f*(safe) = 0.381 × 0.5 ≈ 0.191 → 仓位 95 万

总仓位 170 万 < 500 万，剩余 330 万是机会储备（其他机会或现金）。Kelly 自动把资金分配给 EV/风险最高的机会，无需主观加权。

R1 三问自检：

• ① 影响变量：f（资金分配）+ p、b（每个机会）
• ② 推导依据：数学（Kelly 公式 + 期望值排序）
• ③ trade-off：放弃 EV 较低的机会 → 单笔风险分布更平滑、心理可承受性 ↑

3.4 三类禁忌

禁忌	为什么错
「EV 高的多投，EV 低的少投」	忽略单笔风险——高 EV 可能伴随高方差，破产概率指数上升
「感觉这个更确定所以多投」	“感觉”是 p 估计的认知偏误，应通过 Bayesian 更新校正
「把所有正 EV 机会都满仓」	Kelly 公式已经隐含上限——满仓违反 H1（效用函数）假设

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4. 决策规则整合

整合 0006 综合框架与本课 EV/Bayesian 内容，入场前的标准动作序列：

1. 收集候选机会：列出当前所有 EV 可计算的机会（p、b 可估计）
2. EV 过滤：EV ≤ 0 的全部丢弃
3. Bayesian 更新 p：每个机会用最新证据更新 p（先验 → 后验）
4. *算 f(safe)**：代入 Kelly 公式 × 成本 × safety_factor
5. EV/风险排序：所有 f*(safe) > 0 的机会按 EV/风险降序
6. 资金分配：按排序逐个分配资金，总和不超过总资金 × Σf*(safe)

核心规则（再次明确）：

• EV ≤ 0 → 不做（即使看起来”确定”）
• f*(safe) ≤ 0 → 不做（即使 EV > 0，成本/safety 后已无正期望）
• 多机会并存 → 按 EV/风险排序，不是按 EV 绝对值

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5. 与 0006 的衔接

0006 综合框架内核 是框架声明——给出 4 个数学工具 + H1-H6 假设清单。本课是第一个工具的实操展开：

• EV 定义：0006 没有详细展开，本课补全（p·b − q + 正 EV 反例）
• Bayesian 更新：0006 只给了 worked example，本课展开”先验/证据/后验”三段式 + “入场信号 = p 的输入”规则
• 机会横向比较：0006 没涉及，本课新增（多机会并存时的资金分配规则）

0008 Kelly + ruin probability 会在本课基础上展开 Kelly 公式的 f* 计算、H1-H4 实战修正、回撤阈值数学推导、杠杆上限 ruin 约束。

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实操产出物

完成本课后，你应该产出：

1. EV 计算器：Excel / Python 脚本，输入 p、b、单笔止损率、可用资金，输出 EV、f*(safe)、EV/风险、单笔风险金额、建议仓位
2. Bayesian 更新日志：每笔交易的 p 更新记录——先验、证据、P(证据|win)、P(证据|lose)、后验
3. 机会排序矩阵：当前候选机会列表 + EV/风险 排序
4. 入场信号登记表：列出你常用的 5–10 个信号，每个标注「P(信号|win)」与「P(信号|lose)」的历史估计（数据源 + 样本期）

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练习题

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交叉引用

数学基础

• 数学·0007 盈亏不对称——b 的概念基础
• 数学·0008 贝叶斯定理——p 更新的核心
• 数学·0015 决策树——多分支期望值

前后课程

• 0006 综合框架内核——4 个数学工具 + H1-H6
• 0008 Kelly + ruin probability——Kelly 完整公式 + H1-H4 修正 + 回撤/杠杆数学推导
• 0009 出入场规则：b 的推导——止损/止盈如何定 b
• 0010 批判性思维 + 信号质量——信号质量评估

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本课用户原话出处

“EV = p·b − q，p=0.45、b=1.1 → EV = -0.055，负期望，别做。”

“机会并存时按 EV/风险排序，不是按 EV 绝对值排序。A 的 EV 高但风险大，B 的 EV/风险比更优就优先 B。”

“p 是估计不是固定的，每个新证据都更新一次 Bayesian。”

“入场信号是 p 的输入，不是入场规则本身。“

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合规声明

本课仅作为教育用途，不构成投资建议。所有数字为框架教学示例，非收益承诺。EV 与 Bayesian 公式推导见 DeGroot (1970)《Optimal Statistical Decisions》、Thorp (1997)《The Mathematics of Gambling》。投资有风险，决策请独立判断。