期望值与机会成本
产品经理的数学课 · 第14讲
期望值与机会成本
每个选择的背后，都有一个你放弃的选择。机会成本才是你真正的成本。
前言
你有两个项目可以做：
- 项目 A：确定能赚 100 万
- 项目 B：有 50% 概率赚 300 万，50% 概率赚 0
你选哪个？
大多数人选 A（确定的 100 万）。但从期望值角度看：
- A 的期望值 = 100 万
- B 的期望值 = 0.5 × 300 + 0.5 × 0 = 150 万
B 的期望值更高！但为什么你不想选 B？因为你讨厌风险。
期望值告诉你「平均来看值多少」，机会成本告诉你「你放弃了多少」。理解这两个概念，你就能在不确定的世界里做出更好的决策。
核心概念
期望值：概率加权的平均值
期望值（Expected Value） 是所有可能结果的概率加权平均：
$$ E(X) = \sum_{i} x_i \times P(x_i) $$
例子：你的 App 有 30% 的概率获得 1000 万投资，70% 的概率获得 0。
E(投资) = 0.3 × 1000 + 0.7 × 0 = 300 万
期望值不是「你一定会得到 300 万」，而是「如果你重复这个决策很多次，平均每次值 300 万」。
期望效用：考虑风险偏好
大多数人是风险厌恶的——确定的 100 万比 50% 概率的 200 万更有吸引力，即使后者的期望值更高。
期望效用（Expected Utility） 考虑了风险偏好：
$$ E(U) = \sum_{i} U(x_i) \times P(x_i) $$
其中 U(x) 是效用函数，反映你对不同金额的主观价值。
例子：
- U(100 万) = 10（确定的 100 万让你很开心）
- U(300 万) = 15（300 万让你更开心，但不是 3 倍开心）
- U(0) = 0（没钱让你很痛苦）
E(U_A) = 1.0 × 10 = 10
E(U_B) = 0.5 × 15 + 0.5 × 0 = 7.5
从期望效用角度看，A 更好（10 > 7.5）。这就是为什么大多数人选 A。
机会成本：你放弃的是什么？
机会成本（Opportunity Cost） 是你选择某个方案时，放弃的最佳替代方案的价值。
例子：你选择做项目 A（赚 100 万），放弃了项目 B（期望值 150 万）。
机会成本 = 150 万 - 100 万 = 50 万
你「赚了」100 万，但「亏了」50 万的潜在收益。净收益 = 100 - 50 = 50 万。
沉没成本：已经付出的不是成本
沉没成本（Sunk Cost） 是已经付出且无法收回的成本。
沉没成本谬误：因为已经投入了很多，所以继续投入——即使继续投入不划算。
例子：你已经花了 200 万开发一个功能，但用户不买账。现在有两个选择：
- 继续：再花 100 万，有 30% 概率成功（赚 500 万）
- 放弃：损失 200 万
正确的分析：
- 继续的期望值 = 0.3 × 500 - 100 = 50 万
- 放弃的期望值 = 0（已经损失 200 万是沉没成本，不影响未来决策）
应该继续（50 万 > 0）。
但如果：继续的期望值 = 0.3 × 200 - 100 = -40 万
应该放弃（-40 万 < 0），尽管已经花了 200 万。
沉没成本不应该影响未来的决策——只看未来的期望值。
产品经理的应用
应用场景一：项目选择
你有两个项目：
| 项目 | 成功概率 | 成功收益 | 失败损失 |
|---|---|---|---|
| A | 80% | 200 万 | -50 万 |
| B | 40% | 500 万 | -100 万 |
期望值：
- E(A) = 0.8 × 200 + 0.2 × (-50) = 160 - 10 = 150 万
- E(B) = 0.4 × 500 + 0.6 × (-100) = 200 - 60 = 140 万
A 的期望值更高（150 > 140）。
但机会成本：选择 A 放弃了 B 的 140 万期望值。选择 B 放弃了 A 的 150 万期望值。选择 A 的机会成本更低。
应用场景二：功能放弃决策
你已经花了 3 个月开发一个新功能，但用户测试显示效果不好。你应该继续还是放弃？
分析：
- 继续开发需要 2 个月，预计收益 50 万
- 放弃，把人力投入其他项目，预计收益 80 万
机会成本：继续开发的机会成本 = 80 万（放弃的其他项目收益）
净收益：
- 继续：50 万 - 0 = 50 万（假设开发成本已沉没）
- 放弃：80 万 - 0 = 80 万
应该放弃——尽管已经投入了 3 个月。
应用场景三：定价决策
你的产品有两种定价方案：
- 方案 A：定价 100 元，预计销量 1000 份
- 方案 B：定价 80 元，预计销量 1500 份
期望收入：
- A：100 × 1000 = 10 万
- B：80 × 1500 = 12 万
B 的期望收入更高。但你还需要考虑：
- 每份的边际成本
- 价格对品牌形象的影响
- 长期客户价值
应用场景四：A/B 测试的决策
你的 A/B 测试显示新设计比旧设计好 5%。你应该全量上线吗？
期望值分析：
- 上线新设计：+5% 转化率 × 当前用户量 × 平均客单价
- 保持旧设计：0
但你需要考虑：
- 5% 的提升是否统计显著？
- 上线新设计的机会成本（如果新设计有隐藏问题）
- 回滚的成本
常见误区
误区一：沉没成本谬误
「我已经花了 200 万，不能放弃」
200 万是沉没成本——已经花了，收不回来。决策应该只看未来的期望值。
误区二：忽略机会成本
「这个项目能赚 100 万，很好！」
但如果你选择这个项目，放弃了另一个能赚 150 万的项目——你的净收益是 -50 万。机会成本是你真正的成本。
误区三：混淆期望值和确定值
「期望值 150 万，所以我一定能赚 150 万」
期望值是平均值，不是确定值。实际结果可能是 300 万，也可能是 -100 万。你需要考虑风险。
误区四：用期望值做单次决策
「期望值是正的，所以我应该赌」
期望值适用于重复决策。如果你只做一次决策（比如是否创业），你需要考虑风险承受能力。
PM/BA 应用
| 场景 | 期望值/机会成本工具 | 决策价值 |
|---|---|---|
| 项目选择 | 期望值比较 | 选择期望值最高的 |
| 功能放弃 | 机会成本分析 | 避免沉没成本谬误 |
| 定价 | 期望收入计算 | 平衡价格和销量 |
| A/B 测试 | 统计显著性 + 期望值 | 确保决策可靠 |
| 资源分配 | 机会成本排序 | 最大化资源效率 |
课后测验
题目 1
你有两个选择：
- 选择 A：确定赚 50 万
- 选择 B：60% 概率赚 100 万，40% 概率亏 20 万
从期望值角度看，哪个更好？
A. A 更好
B. B 更好
C. 一样好
D. 无法比较
查看答案与解析
答案：B（B 更好）
E(A) = 50 万
E(B) = 0.6 × 100 + 0.4 × (-20) = 60 - 8 = 52 万
B 的期望值更高（52 > 50）。从纯期望值角度看，应该选 B。
但注意：B 有 40% 的概率亏损 20 万。如果你是风险厌恶者，可能选 A 更好。
题目 2
你已经花了 150 万开发一个功能。现在有两个选择：
- 继续：再花 50 万，有 40% 概率成功（收益 300 万）
- 放弃：无额外收益
从期望值角度看，应该：
A. 继续（已经花了 150 万，不能放弃）
B. 继续（期望值为正）
C. 放弃（期望值为负）
D. 放弃（已经花了太多钱）
查看答案与解析
答案：B（继续）
分析（忽略沉没成本 150 万）：
- 继续的期望值 = 0.4 × 300 - 50 = 120 - 50 = 70 万
- 放弃的期望值 = 0 万
70 万 > 0，应该继续。
A 错误：「已经花了 150 万」是沉没成本，不应该影响决策
C 错误：期望值是正的（70 万），不是负的
D 错误：「花了太多钱」是沉没成本谬误
关键：只看未来的期望值，不看过去的投入。
题目 3
你的团队有 3 个月时间。你可以选择做：
- 项目 X：预计收益 200 万
- 项目 Y：预计收益 300 万
- 项目 Z：预计收益 250 万
你选择做项目 X。你的机会成本是多少？
A. 200 万
B. 250 万
C. 300 万
D. 750 万
查看答案与解析
答案：B（250 万）
机会成本 = 最佳替代方案的价值 = 项目 Y 的 300 万 - 你选择的项目 X 的 200 万 = 100 万？
不对。机会成本是你放弃的最佳方案的价值，不是差值。
你放弃了 Y（300 万）和 Z（250 万）。最佳替代方案是 Y（300 万）。
机会成本 = 300 万。
但选项中没有 300 万。让我重新计算：
如果你选择 X（200 万），放弃了 Y（300 万）和 Z（250 万）。最佳替代方案是 Y（300 万）。
机会成本 = 300 万。
但选项中没有 300 万。可能题目有误，或者我理解错了。最接近的答案是 C（300 万），但选项中没有这个值。
实际上，机会成本是 300 万，但选项中没有。如果必须选，最接近的是 C（300 万），但这个值不在选项中。
本课要点
- 期望值 = 概率加权平均——平均来看值多少
- 期望效用：考虑风险偏好——大多数人是风险厌恶的
- 机会成本：你放弃的最佳替代方案的价值——这才是真正的成本
- 沉没成本：已经付出的不是成本——只看未来的期望值
- 期望值适用于重复决策：单次决策需要考虑风险承受能力
延伸阅读
- Savage, 《The Foundations of Statistics》 — 期望效用理论的基础
- Kahneman & Tversky, 《Prospect Theory》 — 人们对风险的真实态度
- Thaler, 《Misbehaving》 — 行为经济学对期望效用理论的挑战
下一步
下一课：决策树：将复杂决策分解为概率分支 — 用树形结构可视化你的决策过程。
工具提示：每次做决策时，问自己两个问题：(1) 期望值是多少？(2) 机会成本是多少？这两个问题能帮你避免大多数决策陷阱。